게임수학) Chapter5. 좌표계 변환행렬

좌표계 변환 행렬

 

변환행렬에는 SRT변환행렬로 인해 오브젝트가 변화할수도 있지만, 실제 오브젝트는 가만히 있음에도 좌표계의 변경에 따라 좌표를 변화시켜야 될때도 존재한다.

기준점A와 임의의 점 M(x₁,y₁)인 위 그래프를 벡터로 표현해보면

이 된다.

 

여기서 기준점이 B로 변경된다고 가정한다면 새로운 x축 y축이 생기게 되고 기준점에서 M까지를

라는 백터로 표현이 가능하며, 본래 기준점에서 M까지의 (vec)AM은 

라는 식이 성립하게 되는데,

 

위에서 언급했듯이 (vec)AM은

이므로,

의 식에서 BM을 구할수 있다.

 

여기서 (vec)u₁을 B좌표계에서 생각하고 임의의 ux,uy를 지정하면

가 되며

 또한

로 구분할수 있다.

구해진 식을 대입해보면

이며,

양변에 (vec)BA를 더해주면

 

가 되는데

(vec)BA를 임의의 Qx,Qy로 지정하면

가 되며

최종적으로

라는 식이 나오게 된다.

 

이러한 식을 토대로 3차원 좌표 변환행렬을 만들면 아래와 같은 식이 성립된다.

좌표계의 경우 위치벡터뿐만아니라 방향벡터또한 좌표계의 영향을 받기 때문에 이를 변환시켜주어야 한다.

다만 방향벡터의 경우 어느 시작점은 중요하지 않기 때문에 좌표이동은 없어져야 되며,

식으로 표현하면

와 같은 형태가 되어야 한다.